Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，切點為A，BC交⊙O于點D，點E是AC的中點．

（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若⊙O的半徑為2，∠B=50°，AC=4.8，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）直線DE與⊙O相切．理由見解析；（2）圖中陰影部分的面積為4.8﹣π．

【解析】（1）連接OE、OD，如圖，根據切線的性質得∠OAC=90°，再證明△AOE≌△DOE得到∠ODE=∠OAE=90°，然后根據切線的判定定理得到DE為⊙O的切線；

（2）先計算出∠AOD=2∠B=100°，利用四邊形的面積減去扇形的面積計算圖中陰影部分的面積．

（1）直線DE與⊙O相切．理由如下：

連接OE、OD，如圖，

∵AC是⊙O的切線，

∴AB⊥AC，

∴∠OAC=90°，

∵點E是AC的中點，O點為AB的中點，

∴OE∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠3，

∵OB=OD，

∴∠B=∠3，

∴∠1=∠2，

在△AOE和△DOE中

，

∴△AOE≌△DOE，

∴∠ODE=∠OAE=90°，

∴OA⊥AE，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵點E是AC的中點，

∴AE=AC=2.4，

∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，

∴圖中陰影部分的面積=2××2×2.4﹣．