Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a＞0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．

（1）求點A與點B的坐標；

（2）若a＝，點M是拋物線上一動點，若滿足∠MAO不大于45°，求點M的橫坐標m的取值范圍．

（3）經過點B的直線l：y＝kx+b與y軸正半軸交于點C．與拋物線的另一個交點為點D，且CD＝4BC．若點P在拋物線對稱軸上，點Q在拋物線上，以點B，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（1，0）；（2）M（4，7）；﹣2≤m≤4；（3）點P的坐標為P（﹣1，4）或（﹣1，）．

【解析】

（1）y＝a（x+3）（x﹣1）,令y＝0,則x＝1或﹣3,即可求解;

（2）分∠MAO=45°,∠M′AO=45°兩種情況,分別求解即可;

（3）分當BD是矩形的邊, BD是矩形的邊兩種情況,分別求解即可．

（1）y＝a（x+3）（x﹣1）,令y＝0,則x＝1或﹣3,

故點A、B的坐標分別為：（﹣3，0）,（1，0）;

（2）拋物線的表達式為:y＝（x+3）（x﹣1）①,

當∠MAO＝45°時,如圖所示,則直線AM的表達式為:y＝x②,

聯立①②并解得:m＝x＝4或﹣3（舍去﹣3）,故點M（4,7）;

②∠M′AO＝45°時,

同理可得:點M（﹣2,﹣1）;

故:﹣2≤m≤4;

（3）①當BD是矩形的對角線時,如圖2所示,

過點Q作x軸的平行線EF,過點B作BE⊥EF,過點D作DF⊥EF,

拋物線的表達式為:y＝ax2+2ax﹣3a,函數的對稱軸為:x＝1,

拋物線點A、B的坐標分別為:（﹣3,0）、（1，0）,則點P的橫坐標為:1,OB＝1,

而CD＝4BC,則點D的橫坐標為：﹣4,故點D（﹣4,5a）,即HD＝5a,

線段BD的中點K的橫坐標為:,則點Q的橫坐標為:﹣2,

則點Q（﹣2,﹣3a）,則HF＝BE＝3a,

∵∠DQF+∠BQE＝90°,∠BQE+∠QBE＝90°,

∴∠QBE＝∠DQF,

∴△DFQ∽△QEB,則,,解得:a＝（舍去負值）,

同理△PGB≌△DFQ（AAS）,

∴PG＝DF＝8a＝4,故點P（﹣1,4）;

②如圖3,當BD是矩形的邊時,

作DI⊥x軸,QN⊥x軸,過點P作PL⊥DI于點L,

同理△PLD≌△BNQ（AAS）,

∴BN＝PL＝3,

∴點Q的橫坐標為4,則點Q（4,21a）,

則QN＝DL＝21a,同理△PLD∽△DIB,

∴,即,解得:a＝（舍去負值），

LI＝26a＝,故點P（﹣1, ）;

綜上,點P的坐標為:P（﹣1,4）或（﹣1, ）．