Question

如圖1，直線AB過點A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0）。

（1）m為何值時，△OAB面積最大？最大值是多少？
（2）如圖2，在（1）的條件下，函數的圖像與直線AB相交于C、D兩點，若，求k的值。
（3）在（2）的條件下，將△OCD以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向平移，如圖3，設它與△OAB的重疊部分面積為S，請求出S與運動時間t（秒）的函數關系式（0<t<10）。

Answer 1

（1）當m =10時，△OAB面積最大，最大值是50（2）9（3）（0<t<10）

解：（1）∵直線AB過點A（m，0），B（0，n），且m+n=20（其中m＞0，n＞0），
∴。
∴。
∴當m =10時，△OAB面積最大，最大值是50。
（2）當m =10時，直線AB解析式為。
由對稱性，，。
∴。∴。
∵點C在直線AB上，∴。
∴。
（3）如圖，C（9，1），D（1，9）移動后的重疊部分為△O′C′D′，時間t時，點O′的坐標為（t，0）。

由（2）知，。
∵C′D′∥CD，∴△O′C′D′∽△OCD，△O′C′A∽△OCE。
∴，。
∴。
∴S與運動時間t（秒）的函數關系式為（0<t<10）。
（1）求出△OAB面積關于m的函數關系式，應用二次函數最值求解。
（2）由反比例函數和直線的對稱性，根據曲線上點的坐標與方程的關系求解。
（3）應用△O′C′D′∽△OCD，△O′C′A∽△OCE建立比例式求解。