Question

【題目】問題背景：

如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系．

小吳同學(xué)探究此問題的思路是：將△BCD繞點(diǎn)D，逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)A，E處（如圖②），易證點(diǎn)C，A，E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=CD，從而得出結(jié)論：AC+BC=CD．

簡單應(yīng)用：

（1）在圖①中，若AC=，BC=，則CD= ．

（2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙上，，若AB=13，BC=12，求CD的長．

拓展規(guī)律：

（3）如圖④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的長（用含m，n的代數(shù)式表示）

（4）如圖⑤，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E滿足AE=AC，CE=CA，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是 ．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）PQ=AC或PQ=AC．

【解析】

試題分析：（1）由題意可知：AC+BC=CD，所以將AC與BC的長度代入即可得出CD的長度；

（2）連接AC、BD、AD即可將問題轉(zhuǎn)化為第（1）問的問題，利用題目所給出的證明思路即可求出CD的長度；

（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點(diǎn)D1，由（2）問題可知：AC+BC=CD1；又因?yàn)镃D1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的長度；

（4）根據(jù)題意可知：點(diǎn)E的位置有兩種，分別是當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)和當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時，連接CQ、CP后，利用（2）和（3）問的結(jié)論進(jìn)行解答．

試題解析：（1）由題意知：AC+BC=CD，∴=CD，∴CD=3，；

（2）連接AC、BD、AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵，∴AD=BD，將△BCD繞點(diǎn)D，逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，如圖③，∴∠EAD=∠DBC，∵∠DBC+∠DAC=180°，∴∠EAD+∠DAC=180°，∴E、A、C三點(diǎn)共線，∵AB=13，BC=12，∴由勾股定理可求得：AC=5，∵BC=AE，∴CE=AE+AC=17，∵∠EDA=∠CDB，∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，即∠EDC=∠ADB=90°，∵CD=ED，∴△EDC是等腰直角三角形，∴CE=CD，∴CD=；

（3）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長交⊙O于點(diǎn)D1，連接D1A，D1B，D1C，如圖④

由（2）的證明過程可知：AC+BC=D1C，∴D1C=，又∵D1D是⊙O的直徑，∴∠DCD1=90°，∵AC=m，BC=n，∴由勾股定理可求得：，∴，∵，∴==，∵m＜n，∴CD=；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時，如圖⑤，連接CQ，PC，∵AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，∴AP=CP，∠APC=90°，又∵CA=CE，點(diǎn)Q是AE的中點(diǎn)，∴∠CQA=90°，設(shè)AC=a，∵AE=AC，∴AE=a，∴AQ=AE=，由勾股定理可求得：CQ=a，由（2）的證明過程可知：AQ+CQ=PQ，∴PQ=a，∴PQ=AC；

當(dāng)點(diǎn)E在直線AC的右側(cè)時，如圖⑥，連接CQ、CP，同理可知：∠AQC=∠APC=90°，設(shè)AC=a，∴AQ=AE=，由勾股定理可求得：CQ=a，由（3）的結(jié)論可知：PQ=（CQ﹣AQ），∴PQ=AC．

綜上所述，線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是PQ=AC或PQ=AC．