Question

【題目】如圖1，△ABC為等邊三角形，D為BC上任一點，∠ADE＝60°，邊DE與∠ACB外角的平分線相交于點E.

(1)求證：AD＝DE.

(2)若點D在CB的延長線上，如圖2，(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)成立，證明見解析.

【解析】

（1）在AB上取一點M，使BM=BD，連接MD．則△BDM是等邊三角形，則易證AM=DC，根據ASA即可證得△AMD≌△DCE（ASA），根據全等三角形的對應邊相等，即可證得；

（2）延長CA到M，使AM=BD，與（1）相同，可證△CDM是等邊三角形，然后證明△AMD≌△ECD（ASA），根據全等三角形的對應邊相等，即可證得．

（1）證明：如圖1，在AB上取一點M，使BM=BD，連接MD．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，BA=BC．

∴△BMD是等邊三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．

∵CE是外角∠ACF的平分線，

∴∠ECF=60°，∠DCE=120°．

∴∠AMD=∠DCE．

∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠CDE+∠ADE=∠MAD+∠B，

∴∠CDE=∠MAD．

又∵BA-BM=BC-BD，即MA=CD．

在△AMD和△DCE中，

，

∴△AMD≌△DCE（ASA），

∴AD=DE．

（2）答：正確．

證明：延長CA到M，使AM=BD，與（1）相同，可證△CDM是等邊三角形，

∴∠CDM=∠M=60°，CD=DM，

∵∠ADE=60°，

∴∠ADM=∠EDC，

在△AMD和△DCE中，

，

∴△AMD≌△ECD（ASA），

∴AD=DE．