Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C，D是拋物線的頂點，E是對稱軸與x軸的交點．

（1）求拋物線的解析式，并在﹣4≤x≤2范圍內畫出此拋物線的草圖；

（2）若點F和點D關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，過點P作PQ∥OF交拋物線于點Q，是否存在以點O、F、P、Q為頂點的平行四邊形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（﹣2，0）．

【解析】：試題分析：（1）將A（﹣3，0）、B（1，0）兩點帶入二次函數表達式，即可求得二次函數解析式，以及頂點D的坐標。進而畫出在﹣4≤x≤2范圍內此拋物線的草圖，可運用描點法畫。（2）若存在以點O、F、P、Q為頂點的平行四邊形，則F、Q縱坐標的絕對值相等。點F 的坐標已知，可分情況討論，求點Q坐標，從而求得P點坐標。

試題解析：解：（1）根據題意得： ，解得： ，

∴解析式為y=﹣x2﹣2x+3．

當x=﹣=﹣1時，y=4，

∴頂點D的坐標為（﹣1，4），

∴點F的坐標為（﹣1，﹣4）．

此拋物線的草圖如圖所示

（2）若以O、F、P、Q為頂點的平行四邊形存在，

則點Q（x，y）必須滿足|y|=|EF|=4．

①當y=﹣4時，﹣x2﹣2x+3=﹣4，

解得，x=﹣1±2，

∴Q1（﹣1﹣2，﹣4），Q2（﹣1+2，﹣4）

∴P1（﹣2，0），P2（2，0）．

②當y=4時，﹣x2﹣2x+3=4，

解得，x=﹣1，

∴Q3（﹣1，4），

∴P3（﹣2，0），

綜上所述，符合條件的點有三個即：

P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（﹣2，0）．