Question

在⊙O中，AB為⊙0的直徑，AC是弦，OC=4cm∠OAC=60°，如圖所示，一動點M從點A出發，在⊙O上按逆時針方向運動，當S=_△MAO=S_△AOC時，動點M所經過的弧長是

 

cm．

Answer 1

考點：弧長的計算

專題：

分析：分為四種情況：①當M運動到∠AOM₁=60°時，②當M運動到∠AOM₂=120°，③當M運動到∠AOM=240°時，④當∠AOM=300°時，根據弧長公式l=

nπr

180

進行解答即可．

解答：解：∵OA=OC，∠OAC=60°，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC=60°，
分為四種情況：
①如圖M運動到M₁時，S △M1AO=S_△ACO，
則∠AOM₁=∠AOC=60°，
此時動點M所經過的弧長l=

60π×4

180

=

4

3

π（cm）；
②過M₁作M₁M₂∥AB，交⊙O于M₂，連接AM₂，OM₂，
易得S △M2AO=S_△AOC，
則∠AOM₁=∠M₁0M₂=∠BOM₂=60°，
此時動點M所經過的弧長l=

120π×4

10

=

8

3

π（cm）；
③過C作CM₃∥AB交⊙O于M₃，連接AM₃，OM₃，此時S △AM3O=S_△ACO，
則∠AOM₃=240°，
此時動點M所經過的弧長l=

240π×4

180

=

16

3

π（cm）；
④當M運動到C點時，S_△MAO=S_△AOC，
則∠AOM₄=300°，
此時動點M所經過的弧長l=

300π×4

180

=

20

3

π（cm）；
故答案為：

8

3

π或

4

3

π或

16

3

π或

20

3

π．

點評：本題考查了弧長的計算，能熟記弧長公式是解此題的關鍵，用了分類討論思想．