Question

在Rt△ABO中，∠ABO=30°，BO=4，分別以OA、OB邊所在的直線建立平面直角坐標系，D為x軸正半軸上一點，以OD為一邊在第一象限內作等邊△ODE.
（Ⅰ）如圖①， 當E點恰好落在線段AB上，求點E的坐標；
    
（Ⅱ）在（Ⅰ）問的條件下，將△ODE在線段OB上向右平移（如圖②），圖中是否存在一條與線段始終相等的線段？如果存在，請指出這條線段，并加以證明；如果不存在，請說明理由.
（Ⅲ）若點D從原點出發沿x軸的正方向移動，設點D到原點的距離為x，△ODE與△AOB重疊部分面積為y，請直接寫出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) E（1，）.      
(Ⅱ) 將△ODE在線段OB上向右平移時，始終有線段EF=.  
由(Ⅰ)知=2，得+ BD=2，
∵∠=60°=2∠B=∠B+∠BFD，∴∠BFD=∠B，∴DF = BD.
又∵DF+ EF=2，∴EF=.  
(Ⅲ)①如圖a，當0≤x≤2時，y==
②如圖b，當2＜x＜4時，y=－=+2－2.
③如圖c，當x≥4時，y==2.  
 

（1）由題意作輔助線，作EH⊥OB于點H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，從而得出點E的坐標；
（2）假設存在，由OO′=4-2-DB，而DF=DB，從而得到OO′=EF；
（3）根據題意分三種情況寫出解析式即可．