Question

【題目】已知：如圖，⊙O的半徑為r，在射線OM上任取一點P（不與點O重合），如果射線OM上的點P'，滿足OP·OP'=r2，則稱點P'為點P關于⊙O的反演點．

在平面直角坐標系xOy中，已知⊙O的半徑為2．

(1)已知點A (4，0)，求點A關于⊙O的反演點A'的坐標；

(2)若點B關于⊙O的反演點B'恰好為直線與直線x=4的交點，求點B的坐標；

(3)若點C為直線上一動點，且點C關于⊙O的反演點C'在⊙O的內部，求點C的橫坐標m的范圍；

(4)若點D為直線x=4上一動點，直接寫出點D關于⊙O的反演點D'的橫坐標t的范圍．

Answer 1

【答案】（1）A’(1，0)；（2）B(，)；（3）m >1或 m <-1；（4）0<t≤1．

【解析】

（1）由反演點的定義可求解；
（2）先求出點B'坐標，可求OB'的長，由反演點的定義可求OB的長，即可求解；
（3）由題意可得OC'＜2，且OCOC'=4，可得OC＞2，即點C在⊙O的外部，即可求解；
（4）由題意可得OD≥4，且ODOD'=4，可得0＜OD'≤1，即可求解．

（1）∵點A （4，0），
∴OA=4，
∵點A'為點A關于⊙O的反演點，
∴OAOA'=22=4，
∴OA'=1，
∴A'坐標（1，0）；
（2）如圖，過點B作BE⊥x軸于點E，

∵B'恰好為直線與直線x=4的交點，

∴，

∴ 點坐標為(4，)．

∴OA=4，AB'=，

∴ ，

∵，

，

∵點B'為點B關于⊙O的反演點，
∴OBOB'=22=4，
∴OB=，
∵∠OBE=90°-∠BOE=30°，
∴，，

∴點B坐標為(，)；

（3）∵點C為直線上一動點，且點C關于⊙O的反演點C'在⊙O的內部，

∴，

∵OCOC'=4，

∴OC，

∴點C在⊙O的外部，直線與⊙O的兩個交點坐標的橫坐標為，

∴ m的取值范圍是 m >1或 m <-1．

（4）∵點D為直線上一動點，
∴OD≥4，
∵ODOD'=4，
∴0＜OD'≤1，
∴D'的橫坐標t的范圍是：0＜t≤1．