Question

某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）．設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），每個月的銷售利潤為y元．
（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？
（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據以上結論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？

Answer 1

（1）由題意得：y=（210-10x）（50+x-40）
=-10x²+110x+2100（0＜x≤15且x為整數）；

（2）由（1）中的y與x的解析式配方得：y=-10（x-5.5）²+2402.5．
∵a=-10＜0，∴當x=5.5時，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x為整數，
當x=5時，50+x=55，y=2400（元），當x=6時，50+x=56，y=2400（元）
∴當售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元．

（3）當y=2200時，-10x²+110x+2100=2200，解得：x₁=1，x₂=10．
∴當x=1時，50+x=51，當x=10時，50+x=60．
∴當售價定為每件51或60元，每個月的利潤為2200元．
當售價不低于51或60元，每個月的利潤為2200元．
當售價不低于51元且不高于60元且為整數時，每個月的利潤不低于2200元（或當售價分別為51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元時，每個月的利潤不低于2200元）．