Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，0），B（0，1），C（2，

9

5

）．
（Ⅰ）直線l：y=kx+b過A、B兩點，求k、b的值；
（Ⅱ）求過A、B、C三點的拋物線Q的解析式；
（Ⅲ）設（Ⅱ）中的拋物線Q的對稱軸與x軸相交于點E，那么在對稱軸上是否存在點F，使⊙F與直線l和x軸同時相切？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵直線y=kx+b過A、B兩點，
∴

-k+b=0 b=1

（1分）
解這個方程組，
得k=1，b=1．（2分）

（Ⅱ）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則有：

a-b+c=0 c=1 4a+2b+c= 9 5

（3分）
解這個方程組，
得

a=- 1 5 b= 4 5 c=1

∴拋物線的解析式為y=-

1

5

x²+

4

5

x+1．（4分）

（Ⅲ）存在⊙F與直線l和x軸同時相切．
易知拋物線Q的對稱軸為x=2，（5分）
①當圓心F在x軸的上方時，
設點F的坐標為（2，y₀），把x=2代入y=x+1，
得y=3．
∴拋物線Q的對稱軸與直線l的交點為M（2，3）．（6分）
∴EF=y₀，ME=3，MF=ME-EF=3-y₀．（7分）
由直線l：y=x+1知，
∠NMF=45度．
∴△MNF是等腰直角三角形
∴MF=

2

NF=

2

EF
∴3-y₀=

2

y₀
∴y₀=3

2

-3
∴點F的坐標為（2，3

2

-3）．（8分）
②當圓心F在x軸的下方時，設點F的坐標為（2，y₀），則MF=3-y₀，FE=-y₀．
由△MNF為等腰直角三角形，得3-y₀=

2

y₀，（9分）
∴y₀=-3-3

2

∴點F的坐標為（2，-3-3

2

）．（10分）