Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，以AB為直徑的圓分別交BC，AC于D，E兩點，AD交BE于F點，現給出下列命題：①DE+BD=AD；②△ABE與△ABD的面積差為ED2 ， 則（　　）

A.①是假命題，②是真命題 B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是假命題 D.①是真命題，②是真命題

Answer 1

【答案】D

【解析】

①過點E作⊥HE交AD于H，構造等腰直角三角形，根據圓周角定理，得到角相等，證明△AEH≌△BDE，得到AH=BD，由DH=DE，由等量代換得到DE+BD=AD；

②由①證得：DE+BD=AD，兩邊平方得：2DE2=（AD-BD）2=AD2+BD2-2ADBD=AB2-2ADBD，等式的兩邊乘以得：DE2=AB2-ADBD=S△ABE-S△ABD，得到②是真命題．

①過點E作⊥HE交AD于H，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，∠ADB=90°

∵∠EAB=45°，∴∠EBA=45°，

∴∠EDA=45°，

∴∠EHD=∠EDA=45°，

∴∠AHE=∠EDB=135°，

在△AEH與△BDE中，

，

∴△AEH≌△BDE，

∴AH=BD，

∵DH=DE，

∴AD=AH+DH=BD+DE，

∴①是真命題；

②∵S△ABE=AEBE=AB2，S△ABD=ADBD，

由①證得：DE+BD=AD，

∴DE=AD-BD，

∴2DE2=（AD-BD）2=AD2+BD2-2ADBD=AB2-2ADBD

∴DE2=AB2-ADBD=S△ABE-S△ABD，

∴②是真命題，

故選D．