Question

【題目】已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，BF平分交AD于點F，AEBF于點O，交BC于點E，連接EF．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】

(1)由BF平分∠ABC得到∠ABF=∠EBF，由AD∥BC，得到∠EBF=∠AFB，進而得到△ABF為等腰三角形，得到AB=AF；由AE⊥BF，可證明△ABO≌△EBO，得到BE=AB，進而可證明四邊形ABEF為菱形;

(2)由(1)中四邊形ABEF為菱形，過A點作AH⊥BC于H點，根據菱形等面積法求出AH的長，進而求出平行四邊形ABCD的高，進而求出其面積.

解：(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，且F在AD上，E在BC上

∴AF∥BE

∴∠EBF=∠AFB

∵BF是∠ABE的角平分線

∴∠EBF=∠ABF

∴∠ABF=∠AFB

∴△ABF為等腰三角形，且AF=AB

又AE⊥BF，∴∠AOB=∠EOB=90°

在△AOB和△EOB中：

，∴△AOB和△EOB(ASA)

∴AB=BE

又AB=AF

∴BE=AF，且BE∥AF，∴四邊形ABEF為平行四邊形

又AB=BE，∴四邊形ABEF為菱形.

(2)過A點作AH⊥BC于H點，如下圖所示

∵四邊形ABEF為菱形

∴AE⊥BF，且BO=BF=4，OE=AE=3

∴在Rt△BOE中：

由菱形等面積法：，代入數據得：

AH=

∴平行四邊形ABCD的高為

∴.

故答案為：.