Question

【題目】綜合與探究

如圖，等腰直角中，，，現將該三角形放置在平面直角坐標系中，點坐標為，點坐標為.

（1）過點作軸，求的長及點的坐標；

（2）連接，若為坐標平面內異于點的點，且以、、為頂點的三角形與全等，請直接寫出滿足條件的點的坐標；

（3）已知，試探究在軸上是否存在點，使是以為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）4，；（2）或或；（3）或或

【解析】

（1）先根據證明，然后根據全等三角形的性質得出、的長即可得出點的坐標；

（2）做關于軸的對稱圖形得到；做關于軸的對稱圖形得到；做關于軸的對稱圖形得到，根據對稱圖形的性質即可知道所作的圖形全等，即可寫出點的坐標；

（3）當以點為頂點時有一個點符合，當以點為頂點時分鈍角三角形和銳角三角形即可求解.

（1）∵點坐標為，點坐標為

∴

∵

∴

∵軸

∴

∴

∴

又∵，

∴

∴

∴

∴ 點的坐標為

（2）①做關于軸的對稱圖形得到，

∴

∴點的坐標為；

②∵點和點關于對稱

∴做關于軸的對稱圖形得到

∴

∴點的坐標為；

③做關于軸的對稱圖形得到，

∴

∴

∴點的坐標為

∴綜上所述點的坐標為或或；

（3）①當以點為頂點時，且是腰

∵軸

∴可以做點關于的對稱點

∴點的坐標為

∴是的垂直平分線

∴

∴是以為腰的等腰三角形；

②當以點為頂點時，且是腰，形成銳角三角形時，

即

∴點的坐標為；

②當以點為頂點時，且是腰，形成鈍角三角形時，

即

∴點的坐標為

∴綜上所述點的坐標為或或