Question

【題目】如圖所示拋物線過點，點，且

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；

（2）點在直線上的兩個動點，且，點在點的上方，求四邊形的周長的最小值；

（3）點為拋物線上一點，連接，直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1），對稱軸為直線；（2）四邊形的周長最小值為；（3）

【解析】

（1）OB=OC，則點B（3，0），則拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，即可求解；

（2）CD+AE=A′D+DC′，則當A′、D、C′三點共線時，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，即可求解；

（3）S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，即可求解．

（1）∵OB=OC，∴點B（3，0），

則拋物線的表達式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，

故-3a=3，解得：a=-1，

故拋物線的表達式為：y=-x2+2x+3…①；

對稱軸為：直線

（2）ACDE的周長=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常數，

故CD+AE最小時，周長最小，

取點C關于函數對稱點C（2，3），則CD=C′D，

取點A′（-1，1），則A′D=AE，

故：CD+AE=A′D+DC′，則當A′、D、C′三點共線時，CD+AE=A′D+DC′最小，周長也最小，

四邊形ACDE的周長的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；

（3）如圖，設直線CP交x軸于點E，

直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，

又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，

則BE：AE，=3：5或5：3，

則AE=或，

即：點E的坐標為（，0）或（，0），

將點E、C的坐標代入一次函數表達式：y=kx+3，

解得：k=-6或-2，

故直線CP的表達式為：y=-2x+3或y=-6x+3…②

聯立①②并解得：x=4或8（不合題意值已舍去），

故點P的坐標為（4，-5）或（8，-45）．