Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AC=10cm，點D從點A出發沿AC方向以1cm/s的速度向點C勻速運動，同時點E從點B出發沿BA方向以cm/s的速度向點A勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設點D，E運動的時間是t(0<1≤10)s．過點E作EF⊥BC于點F，連接DE，DE。

（1）用含t的式子填空：BE=________cm ，CD=________cm。

（2）試說明，無論t為何值，四邊形ADEF都是平行四邊形；

（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形?請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（1）t ，10-t；（2）見解析；（3）滿足條件的t的值為5s或s，理由見解析

【解析】

（1） 點D從點A出發沿AC方向以1cm/s的速度向點C勻速運動 ，由路程=時間×速度，得AD=t, CD=10-t,; 點E從點B出發沿BA方向以cm/s的速度向點A勻速運動,所以BE=t；

（2）因為 △ABC 是等腰直角三角形，得∠B=45°，結合BE= t，得EF=t,又因為∠EFB和∠C都是直角相等，得 AD∥EF，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證得四邊形ADFE是平行四邊形；

（3） ①當∠DEF=90°時，因為DF平分對角，四邊形EFCD是正方形，這時 AD=DE=CD=5，求得t=5;②當∠EDF=90°時，由DF∥AE，兩直線平行，內錯角相等，得∠AED=∠EDF=90°，結合∠A=45°，AD=AE , 據此列式求得t值即可； ③當∠EFD=90°，點D、E、F在一條直線上，△DFE不存在.

（1）由題意可得BE=tcm，CD=AC-AD=(10-t)cm，

故填：t ，10-t；

（2）解：如圖2中

∵CA=CB，∠C=90°

∴∠A=∠B=45°，

∵EF⊥BC，

∴∠EFB=90°

∴∠FEB=∠B=45°

∴EF=BF

∵BE=t，

∴EF=BF=t

∴AD=EF

∵∠EFB=∠C=90°

∴AD∥EF，

∴四邊形ADFE是平行四邊形

（3）解：①如圖3-1中，當∠DEF=90°時，四邊形EFCD是正方形，此時AD=DE=CD，

∴t=10-t,∴t=5

②如圖3-2中，當∠EDF=90°時，

∵DF∥AC，

∴∠AED=∠EDF=90°，

∵∠A=45°

∴AD=AE，

∴t=(10- t)，

解得t=

③當∠EFD=90°，△DFE不存在

綜上所述，滿足條件的t的值為5s或s.