Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=a（x+1）2﹣3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，﹣ ），頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，過點H的直線l交拋物線于P，Q兩點，點Q在y軸的右側．

（1）求a的值及點A，B的坐標；
（2）當直線l將四邊形ABCD分為面積比為3：7的兩部分時，求直線l的函數表達式；
（3）當點P位于第二象限時，設PQ的中點為M，點N在拋物線上，則以DP為對角線的四邊形DMPN能否為菱形？若能，求出點N的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線與y軸交于點C（0，﹣ ）．

∴a﹣3=﹣ ，解得：a= ，

∴y= （x+1）2﹣3

當y=0時，有 （x+1）2﹣3=0，

∴x1=2，x2=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（2，0）．

（2）

解：∵A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣ ），D（﹣1，﹣3）

∴S四邊形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC= ×3×3+ （ +3）×1+ ×2× =10．

從面積分析知，直線l只能與邊AD或BC相交，所以有兩種情況：

①當直線l邊AD相交與點M1時，則S = ×10=3，

∴ ×3×（﹣y ）=3

∴y =﹣2，點M1（﹣2，﹣2），過點H（﹣1，0）和M1（﹣2，﹣2）的直線l的解析式為y=2x+2．

②當直線l邊BC相交與點M2時，同理可得點M2（ ，﹣2），過點H（﹣1，0）和M2（ ，﹣2）的直線l的解析式為y=﹣ x﹣ ．

綜上所述：直線l的函數表達式為y=2x+2或y=﹣ x﹣ ．

（3）

解：設P（x1，y1）、Q（x2，y2）且過點H（﹣1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，

∴﹣k+b=0，

∴b=k，

∴y=kx+k．

由 ，

∴ +（ ﹣k）x﹣ ﹣k=0，

∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，

∵點M是線段PQ的中點，∴由中點坐標公式的點M（ k﹣1， k2）．

假設存在這樣的N點如圖，

直線DN∥PQ，設直線DN的解析式為y=kx+k﹣3

由 ，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）

∵四邊形DMPN是菱形，

∴DN=DM，

∴（3k）2+（3k2）2=（ ）2+（ ）2，

整理得：3k4﹣k2﹣4=0，

∵k2+1＞0，

∴3k2﹣4=0，

解得k=± ，

∵k＜0，

∴k=﹣ ，

∴P（﹣3 ﹣1，6），M（﹣ ﹣1，2），N（﹣2 ﹣1，1）

∴PM=DN=2 ，

∵PM∥DN，

∴四邊形DMPN是平行四邊形，

∵DM=DN，

∴四邊形DMPN為菱形，

∴以DP為對角線的四邊形DMPN能成為菱形，此時點N的坐標為（﹣2 ﹣1，1）．

【解析】（1）把點C代入拋物線解析式即可求出a，令y=0，列方程即可求出點A、B坐標．（2）先求出四邊形ABCD面積，分兩種情形：①當直線l邊AD相交與點M1時，根據S = ×10=3，求出點M1坐標即可解決問題．②當直線l邊BC相交與點M2時，同理可得點M2坐標．（3）設P（x1 ， y1）、Q（x2 ， y2）且過點H（﹣1，0）的直線PQ的解析式為y=kx+b，得到b=k，利用方程組求出點M坐標，求出直線DN解析式，再利用方程組求出點N坐標，列出方程求出k，即可解決問題．