Question

如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B．P是射線BO上的一個動點（點P不與點B重合），過點P作PC⊥AB，垂足為C，在射線CA上截取CD=CP，連接PD．設BP=t．

（1）t為何值時，點D恰好與點A重合？
（2）設△PCD與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）在一次函數解析式中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=3，
∴A（3，0），B（0，4）。
在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，由勾股定理得：AB=5。
在Rt△BCP中，CP=PB•sin∠ABO=t，BC=PB•cos∠ABO=t，
∴CD=CP=t。
若點D恰好與點A重合，則BC+CD=AB，即t+t=5，解得：t=。
∴當t=時，點D恰好與點A重合。
（2）當點P與點O重合時，t=4；
當點C與點A重合時，由BC=BA，即t=5，得t=。
∴點P在射線BO上運動的過程中，分為四個階段：
當0＜t≤時，如題圖所示，
此時S=S_△PCD=CP•CD=•t•t=t²。
②當＜t≤4時，如答圖1所示，設PC與x軸交于點E，

BD=BC+CD=t+t=t，
過點D作DN⊥y軸于點N，
則ND=BD•sin∠ABO=t•=t
BN=BD•cos∠ABO=t•=t。
∴PN=BN﹣BP=t﹣t=t，ON=BN﹣OB=t﹣4。
∵ND∥x軸，∴△OEP∽△NDP。
∴，即，得：OE=28﹣7t.。
∴AE=OA﹣OE=3﹣（28﹣7t）=7t﹣25。
∴。
③當4＜t≤時，如答圖2所示，設PC與x軸交于點E．

AC=AB﹣BC=5﹣t，
∵，
∴CE=AC•tan∠OAB=（5﹣t）×= ﹣t。
∴
。
④當t＞時，無重合部分，故S=0。
綜上所述，S與t的函數關系式為：
。

試題分析：（1）首先求出點A、B的坐標，然后在Rt△BCP中，解直角三角形求出BC，CP的長度；進而利用關系式AB=BC+CD，列方程求出t的值。
（2）點P運動的過程中，分為四個階段，需要分類討論：
①當0＜t≤時，如題圖所示，重合部分為△PCD；
②當＜t≤4時，如答圖1所示，重合部分為四邊形ACPE；
③當4＜t≤時，如答圖2所示，重合部分為△ACE；
④當t＞時，無重合部分。