Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸，y軸相交于A，B兩點，OA，OB的長分別是方程x²﹣14x+48=0的兩根，且OA＜OB．

（1）求點A，B的坐標．
（2）過點A作直線AC交y軸于點C，∠1是直線AC與x軸相交所成的銳角，sin∠1=，點D在線段CA的延長線上，且AD=AB，若反比例函數的圖象經過點D，求k的值．
（3）在（2）的條件下，點M在射線AD上，平面內是否存在點N，使以A，B，M，N為頂點的四邊形是鄰邊之比為1：2的矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A（6，0），B（0，8）。
（2）k=84。
（3）存在。點N的坐標為（4，11）或（16，20）。

試題分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的長度，得到點A、B的坐標。
解：解方程x²﹣14x+48=0，得：x₁=6，x₂=8。
∵OA，OB的長分別是方程x²﹣14x+48=0的兩根，且OA＜OB，∴OA=6，OB=8。
∴A（6，0），B（0，8）。
（2）如答圖所示，作輔助線，構造全等三角形△AOB≌△DEA，求得點D的坐標；進而由題意，求出k的值。
如答圖所示，過點D作DE⊥x軸于點E．

在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，
由勾股定理得：AB=10。
∴。
∵sin∠1=，∴∠OBA=∠1。
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°，
∴∠OAB=∠ADE。
在△AOB與△DEA中，∵∠OBA=∠1，AB=AD，∠OAB=∠ADE，
∴△AOB≌△DEA（ASA）。∴AE=OB=8，DE=OA=6。∴OE=OA+AE=6+8=14。
∴D（14，6）。
∵反比例函數的圖象經過點D，∴k=14×6=84。
（3）如答圖所示，可能存在兩種情形：
如圖所示，若以A，B，M，N為頂點的四邊形是鄰邊之比為1：2的矩形，

①當AB：AM₁=2：1時，
過點M₁作M₁E⊥x軸于點E，
易證Rt△AEM₁∽Rt△BOA，
∴，即
∴AE=4，M₁E=3。
過點N₁作N₁F⊥y軸于點F，易證Rt△N₁FB≌Rt△AEM₁，
∴N₁F=AE=4，BF=M₁E=3，∴OF=OB+BF=8+3=11。
∴N₁（4，11）。
②當AB：AM₂=1：2時，同理可求得：N₂（16，20）。
綜上所述，存在滿足條件的點N，點N的坐標為（4，11）或（16，20）。