Question

【題目】如圖，已知直線l經過點A（1，0），與雙曲線y= （x＞0）交于點B（2，1）．過點P（p，p﹣1）（p＞1）作x軸的平行線分別交雙曲線y= （x＞0）和y=﹣ （x＜0）于點M、N．
（1）求m的值和直線l的解析式；
（2）若點P在直線y=2上，求證：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在實數p，使得S△AMN=4S△AMP？若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵B（2，1）在雙曲線y= （x＞0）上，

∴m=2，

設直線l的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得 ，

∴直線l的解析式為y=x﹣1

（2）證明：∵點P（p，p﹣1）（p＞1），點P在直線y=2上，

∴p﹣1=2，

解得p=3，

∴P（3，2），

∴PM=2，PN=4，PA=2 ，PB= ，

∵∠BPM=∠APN，PM：PN=PB：PA=1：2，

∴△PMB∽△PNA

（3）解：存在實數p，使得S△AMN=4S△AMP．

∵P（p，p﹣1）（p＞1），

∴點M、N的縱坐標都為p﹣1，

將y=p﹣1代入y= 和y=﹣ ，

得x= 和x=﹣ ，

∴M、N的坐標分別為（ ，p﹣1），（﹣ ，p﹣1），

①當1＜p＜2時，

MN= ，PM= ﹣p，

∵S△AMN= MN×（p﹣1）=2，S△AMP= MP×（p﹣1）=﹣ p2+ p+1，

S△AMN=4S△AMP，

∴2=4×（﹣ p2+ p+1），

整理，得p2﹣p﹣1=0，

解得：p= ，

∵1＜p＜2，

∴p= ，

②當p＞2時，

MN= ，PM=p﹣ ，

∵S△AMN= MN×（p﹣1）=2，S△AMP= MP×（p﹣1）= p2﹣ p﹣1，

S△AMN=4S△AMP，

∴2=4×（ p2﹣ p﹣1），

整理，得p2﹣p﹣3=0，解得p= ，

∵p大于2，

∴p= ，

∴存在實數p= 或 使得S△AMN=4S△AMP．

【解析】（1）將點B的坐標代入即可得出m的值，設直線l的解析式為y=kx+b，再把點A、B的坐標代入，解方程組求得k和b即可得出直線l的解析式；（2）根據點P在直線y=2上，求出點P的坐標，再證明△PMB∽△PNA即可；（3）先假設存在，利用S△AMN=4S△AMP ． 求得p的值，看是否符合要求．
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．