Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點是邊上一點，且．點是直線上一點且在點的右側，，點從點出發，沿射線方向以每秒1個單位長度的速度運動，設運動時間為秒．以為圓心，為半徑作半圓，交直線分別于點，（點在的左側）．

（1）當秒時，的長等于__________，__________秒時，半圓與相切；

（2）當點與點重合時，求半圓被矩形的對角線所截得的弦長；

（3）若，求扇形的面積．

（參考數據：，，）

Answer 1

【答案】（1），；（2）當點與點重合時，半圓被矩形的對角線所截得的弦長為；（3）或．

【解析】

（1）先根據線段的和差求出BP的長，再根據勾股定理即可求出PC的長；先根據圓的性質、勾股定理求出BP的長，再根據線段的和差求出PQ的長，由此即可求出t的值；

（2）如圖3（見解析），先在中，求出，從而可得，再根據直角三角形的性質求出，然后根據正弦三角函數值求出CF的長，最后根據垂徑定理即可得；

（3）先依題意分兩種情況，再分別根據三角形的外角性質求出的度數，然后根據直角三角形的性質求出PC的長，最后根據扇形的面積公式求解即可得．

（1）四邊形ABCD是矩形

當秒時，

若半圓與相切，則點P在線段AB上，且

設，則

在中，，即

解得

故答案為：，；

（2）如圖3，過點作于

在中，

，

在中，

，即

由垂徑定理可得：

故當點與點重合時，半圓被矩形的對角線所截得的弦長為；

（3）若，分以下兩種情況：

①如圖4，

在中，

則

②如圖5，

在中，

則

綜上，扇形的面積為或．