Question

【題目】已知，正方形ABPD的邊長為3，將邊DP繞點P順時針旋轉90°至PC，E、F分別為線段DP、CP上兩個動點（不與D、P、C重合），且DE=CF，連接BE并延長分別交DF、DC于H、G．

（1）①求證：△BPE≌△DPF，②判斷BG與DF位置關系并說明理由；

（2）當PE的長度為多少時，四邊形DEFG為菱形并說明理由；

（3）連接AH，在點E、F運動的過程中，∠AHB的大小是否發生改變？若改變，請說出是如何變化的；若不改變，請求出∠AHB的度數．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②BG⊥DF；（2）當PE=3﹣3時，四邊形DEFG為菱形；

（3）45°．

【解析】分析：

（1）①由已知條件易得BP=DP=PC，∠BPE=∠DPF=90°結合DE=CF可得PE=PF，由此即可得到△BPE≌△DPF；②由△BPE≌△DPF可得∠EBP=∠FDP，結合∠FDP+∠BFH=90°，可得∠EBP+∠BFH=90°，從而可得∠BHP=90°，由此可得BG⊥DF；

（2）如下圖1，連接EF、GF，由題意可知，要使四邊形DEFG是菱形，則必須使DE=EF，由（1）中所得△BPE≌△DPF可得PF=PE，設PE=x，則DE=3-x=EF，由此在Rt△PEF中由勾股定理建立方程，解方程即可求得此時PE=x=，解題時把PE=作為一個條件，結合題目中的其它條件去證明此時四邊形DEFG為菱形即可；

（3）如圖2，連接BD，作出BD的中點O，連接AO，HO，由已知條件結合（1）中所得BG⊥DF易得OA=OB=OD=OH=BD，由此可得點A、B、H、D在以O為圓心、OA為半徑的圓上，從而可得∠AHB=∠ADB=45°．

詳解：

（1）①證明：由旋轉的性質可知，△DPC是等腰直角三角形，

∵四邊形ABPD是正方形，

∴BP=PD=PC，∠BPE=∠DPF=90°，

∵DE=CF，

∴PE=PF，

在△BPE和△DPF中，

BP=PD，∠BPE=∠DPF，PE=PF，

∴△BPE≌△DPF；

②∵△BPE≌△DPF，

∴∠EBP=∠FDP，又∠FDP+∠BFH=90°，

∴∠EBP+∠BFH=90°，

∴∠BHP=90°，

∴BG⊥DF；

（2）當PE=時，四邊形DEFG為菱形；理由如下：

在正方形ABPD中，BP=PD=3，

∵PE=，EF=PE，

∴EF==6﹣3，DE=PD-PE=6﹣3，

∴EF=ED，

∵BG⊥DF，

∴EG垂直平分DF，

∴GD=GF，

∵∠PEF=∠PDC=45°，

∴EF∥DG，

∴∠EFD=∠FDG，

∵DE=EF，

∴∠EFD=∠EDF，

∴∠EDG=∠FDE，

∵BG⊥DF，

∴∠DEG=∠DGE，

∴DE=DG，

∴DE=DG=GF=EF，

∴四邊形DEFG是菱形；

（3）∠AHB的大小不變，∠AHB=45°，

連接BD，取BD的中點O，連接OA、OH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，

∵BG⊥DF，

∴∠DHB=90°，

則OA=OB=OD=OH=BD，

∴點A、B、H、D在以O為圓心、OA為半徑的圓上，

∴∠AHB=∠ADB=45°．