Question

【題目】如圖所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標系中的紙片，點C與原點O重合，點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，已知OA=3，OB＝4.將紙片的直角部分翻折，使點C落在AB邊上，記為D點，AE為折痕，E在y軸上.

（1）在下圖所示的直角坐標系中，求E點的坐標及AE的長.

（2）線段AD上有一動點P（不與A、D重合）自A點沿AD方向以每秒1個單位長度向D點作勻速運動，設運動時間為t秒（0<t<3），過P點作PM∥DE交AE于M點，過點M作MN∥AD交DE于N點，求四邊形PMND的面積S與時間t之間的函數關系式，當t取何值時，S有最大值？最大值是多少？

（3）當t（0<t<3）為何值時，A、D、M三點構成等腰三角形？并求出點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）E（0，），AE=；（2），當t=時，S最大=；（3）當t＝或秒時，A、D、M三點構成等腰三角形，M（，）；M（3，）．

【解析】

（1）由折疊可知△AOE≌△ADE，根據全等三角形的對應邊相等，以及對應角相等得到OE=ED，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，根據勾股定理求出AB的長，設出ED=OE=x，在直角三角形BED中，根據勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，進而寫出點E的坐標，再在直角三角形AOE中，根據勾股定理求出AE的長即可；

（2）根據兩組對邊互相平行得到四邊形MNDP為平行四邊形，又∠ADE為直角，所以MNDP為矩形，根據題意表示出AP的長，進而得到PD的長，又由平行得到兩對同位角相等，進而得到△AMP∽△AED，根據相似三角形對應邊成比例得到比例式，將各自的值代入表示出PM的長，由矩形的面積公式長乘以寬和表示出的長DP與寬PM，表示出矩形的面積，得到面積與t成二次函數關系，利用二次函數求最值的方法求出面積S的最大值及取得最大值時t的值即可；

（3）根據題意發現有兩種情況滿足△ADM為等腰三角形，①當MD=MA時，P為AD中點，由AD求出AP，進而根據速度求出此時t的值，此時三角形AMD為等腰三角形，過M作MF垂直于x軸，根據“ASA”得到△APM≌△AFM，求出MF=MP，即為M的縱坐標，求出FA，進而求出OF的長，即為M的橫坐標，寫出M的坐標即可；②當AD=AM=3時，由平行的兩對同位角相等，進而得到△AMP∽△AED，根據相似三角形對應邊成比例得到比例式，求出AP的長，由速度求出此時t的值，此時三角形AMD為等腰三角形，過M作MF垂直于x軸，根據“ASA”得到△APM≌△AFM，同理可得M的坐標．

（1）據題意，△AOE≌△ADE，

∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3，

在Rt△AOB中，AB＝＝5，

設DE=OE=x，在Rt△BED中，根據勾股定理得：BD2+DE2=BE2，

即22+x2=（4-x）2，解得x＝，∴E（0，）

在Rt△AOE中，AE＝；

（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE=90°，

∴四邊形PMND是矩形，

∵AP=t×1=t，

∴PD=3-t，

∵△AMP∽△AED，

∴，

∴PM=，

∴S矩形PMND＝PMPD＝(3t)，

∴S矩形PMND＝t2+t或S矩形PMND＝ (t)2+，

當t＝時，S最大＝；

（3）顯然DM≠AD，故等腰三角形有以下二種情況：

①當MD=MA時，點P是AD中點，

∴AP＝，

∴t＝÷1＝（秒）

∴當t＝時，A、D、M三點構成等腰三角形，

過點M作MF⊥OA于F，

∵△APM≌△AFM，

∴AF=AP=，MF=MP=＝，

∴OF=OA-AF=3-＝，

∴M（，）；

②當AD=AM=3時，

∵△AMP∽△AED，

∴，

∴，

∴AP＝，

∴t＝÷1＝（秒）

∴當t＝秒時，A、D、M三點構成等腰三角形，

過點M作MF⊥OA于F，

∵△AMF≌△AMP，

∴AF=AP=，FM=PM=＝，

∴OF=OA-AF=3-，

∴M（3，）．