Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E．

（1）求證：直線DE是⊙O的切線；

（2）若AE＝8，⊙O的半徑為5，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）連接OD，由角平分線和等腰三角形的性質得出∠ODA＝EAD，證出EA∥OD，再由已知條件得出DE⊥OD，即可得出結論．

（2）作DF⊥AB，垂足為F，由AAS證明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出結果．

（1）證明：連接OD，如圖1所示：

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD＝∠OAD，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠ODA＝∠EAD，

∴EA∥OD，

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD，

∵點D在⊙O上，

∴直線DE與⊙O相切．

（2）作DF⊥AB，垂足為F，如圖2所示：

作，垂足為F，如圖2所示：

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

在中，，

．