Question

已知如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A．
（1）請求出點A坐標和⊙P的半徑；
（2）請確定拋物線的解析式；
（3）M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交⊙P于點D．若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．（先畫出符合題意的示意圖再求解）．

Answer 1

分析：（1）利用切割線定理以及矩形的性質(zhì)得出點A坐標和⊙P的半徑；
（2）將B（1，0）、C（4，0），A（0，2）帶入y=ax²+bx+c求出a，b，c進而得出解析式即可；
（3）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，得出△AOB和△ABD相似有兩種情況進而得出即可．

解答：解：（1）∵OA是⊙P的切線，OC是⊙P的割線．
∴OA²=OB×OC，
即OA²=1×4，
∴OA=2，
即點A點坐標是（0，2）
如圖1，連接PA，過P作PE⊥CO交OC于E顯然，四邊形PAOE為矩形，
故PA=OE，
∵PE⊥BC，
∴BE=CE，
又∵BC=3，
∴BE=

3

2

，
∴PA=OE=OB+BE=1+

3

2

=

5

2

，
即⊙P的半徑長為

5

2

．

（2）將B（1，0）、C（4，0），A（0，2）帶入y=ax²+bx+c得：

a+b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得：

a= 1 2 b=- 5 2 c=2

，
故拋物線的解析式是：y=

1

2

x2-

5

2

x+2；

（3）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，
所以△AOB和△ABD相似有兩種情況
①∠ABD和∠AOB對應，
如圖1，此時AD是⊙P的直徑則AB=

5

，AD=5
∴BD=2

5

，
∵Rt△AMB∽Rt△DAB，
∴MA：AD=AB：BD，
即MA=

AB•AD

BD

=

5

2

，
∵Rt△AMB∽Rt△DMA，
∴MA：MD=MB：MA
即MB•MD=MA²=

25

4

，
②∠BAD和∠AOB對應，
如圖2，此時BD是⊙P的直徑，所以直線MB過P點
∵B（1，0），P（

5

2

，2），
∴直線MB的解析式是：y=

4

3

x-

4

3

∴M點的坐標為（0，-

4

3

），
∴AM=

10

3

，
由△MAB∽△MDA，
得MA：MD=MB：MA
∴MB•MD=MA²=

100

9

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得圖形進行分類討論是解題關鍵．