Question

已知如圖，拋物線y=x²-x-1與y軸交于C點，以原點O為圓心，以OC為半徑作⊙O，交x軸于A、B兩點，交y軸于另一點D．設點P為拋物線y=x²-x-1上的一點，作PM⊥x軸于點M，求使△PMB∽△ADB時的P點坐標．

Answer 1

分析：求出C、A、B、D、的坐標，求出AD、BD的值，證出∠ADB=90°，得出△ADB是等腰直角三角形，推出△PMB是等腰直角三角形，設P的坐標是（x，x²-x-1），根據PM=BM求出x即可．

解答：解：當x=0時，y=-1，
∴C的坐標是（0，-1），
∵以原點O為圓心，以OC為半徑作⊙O，交x軸于A、B兩點，交y軸于另一點D，
∴A（-1，0），B（1，0），D（0，1），
由勾股定理得：AD=BD=

2

，
∵OA=OB=OD，
∴∠ADB=90°，
即△ADB是等腰直角三角形，
∵△PMB∽△ADB，
∴△PMB是等腰直角三角形，
∵∠PMB=90°，
∴PM=BM，
設P的坐標是（x，x²-x-1），B（1，0），
∴BM=|x-1|，
∴x-1=x²-x-1，-（x-1）=x²-x-1，
即x²-2x=0，x²=2，
解得：x₁=0，x₂=2，x₃=

2

，x₄=-

2

，
∴y₁=x²-x-1=-1，y₂=1，y₃=1-

2

，y₄=1+

2

，
∴P的坐標是（0，-1），（2，1），（

2

，1-

2

），（-

2

，1+

2

），
答：使△PMB∽△ADB時的P點坐標是（0，-1）或（2，1）或（

2

，1-

2

）或（-

2

，1+

2

）．

點評：本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，等腰直角三角形，相似三角形的性質，勾股定理，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．