Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始以2cm/s的速度向點B運動，點Q沿CB邊從點C開始以1cm/s的速度向點B運動，P、Q同時出發，用t（s）表示運動的時間（0≤t≤5）．

（1）當t為何值時，以P、Q、B為頂點的三角形與△ABC相似．
（2）分別過點A，B作直線CP的垂線，垂足為D，E，設AD+BE=y，求y與t的函數關系式；并求當t為何值時，y有最大值．
（3）直接寫出PQ中點移動的路徑長度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，

∴BC=10cm．

由題意可知，PA=2t，BP=10﹣2t，CQ=t，BQ=6﹣t．

①若 ，則△BQP∽△BCA．

即 ．解得t=0；

②若 ，則△BQP∽△BAC．

即 ．解得t= ．

故當t=0或t= 時，以P，Q，C為頂點的三角形與△ABC相似

（2）

解：如圖1，作PF⊥AC，垂足為F．

∴△APF∽△ABC．

∴ ，即 ，

解得PF= ，AF= ．

∴CF=8﹣ ，

∴CP= =2 ，

∵S△APC= CPAD= PFAC= 8= ，

∴AD= ．

同理BE= ．

∴y=AD+BE= + = = ，

y= = ，當t= 時，y的最大值為10cm

（3）

解：如圖2，設PQ的中點為M，以C為原點，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，

依題意，可知0≤t≤5，當t=0時，點M1的坐標為（4，0）；

當t=5時，點M2的坐標為（0，5.5），設直線M1M2的解析式為y=kx+b，

∴ ∴ ，

∴直線M1M2的解析式為y=﹣ x+ ．

由（2）知點Q（0，t），P（8﹣ ， ），

∴在運動過程中，線段PQ中點M3的坐標為（4﹣ ， ），

把x=4﹣ ，代入y=﹣ x+ ，得y= ，

∴點M3在M1M2直線上，

∴線段PQ中點M所經過的路徑長為 = cm．

【解析】（1）根據勾股定理得到BC=10，根據已知條件得到PA=2t，BP=10﹣2t，CQ=t，BQ=6﹣t．根據相似三角形的性質列方程即可得到結論；（2）如圖1，作PF⊥AC，垂足為F．根據相似三角形的性質得到PF= ，AF= ．求得CF=8﹣ ，根據勾股定理得到CP= =2 ，根據三角形的面積即可得到結論；（3）如圖2，設PQ的中點為M，以C為原點，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，依題意，可知0≤t≤5，當t=0時，點M1的坐標為（4，0）；當t=5時，點M2的坐標為（0，5.5），求得直線M1M2的解析式為y=﹣ x+ ．根據勾股定理即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．