Question

【題目】如圖，已知四邊形是邊長為的正方形，以為直徑向正方形內作半圓，為半圓上一動點（不與、重合），當________時，為等腰三角形．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

分別從當PA=PD，PA=AD，AD=PD時，△PAD是等腰三角形討論，然后由等腰三角形的性質與射影定理即可求得答案.

解：①當PA=PD時，

此時P位于四邊形ABCD的中心，

過點P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，

則四邊形EAMP是正方形，

∴PM=PE=AB=2，

∵PM2=AMBM=4，

∵AM+BM=4，

∴AM=2，

∴PA=2，

②當PA=AD時，PA=4（舍）；

③當PD=DA時，以點D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點為點P．

連PD，令AB中點為O，再連DO，PO，DO交AP于點G，

則△ADO≌△PDO，

∴DO⊥AP，AG=PG，

∴AP=2AG，

又∵DA=2AO，

∴AG=2OG，

設AG為2x，OG為x，

∴（2x）2+x2=4，

∴x=，

∴AG=2x=，

∴PA=2AG=；

∴PA=2或4或，

故答案為：2或4或.