Question

【題目】已知拋物線的函數(shù)解析式為，若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．

（1）求拋物線的解析式．

（2）已知實(shí)數(shù)，請(qǐng)證明：，并說(shuō)明為何值時(shí)才會(huì)有．

（3）若拋物線先向上平移4個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位后得到拋物線，設(shè)，是上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足：，，.請(qǐng)你用含有的表達(dá)式表示出的面積，并求出的最小值及取最小值時(shí)一次函數(shù)的函數(shù)解析式．

（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若，則兩點(diǎn)間的距離）

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明詳見解析，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，成立；（3），SΔAOB的最小值為1，直線OA的一次函數(shù)解析式為y＝x

【解析】

（1）直接利用待定系數(shù)法求出解析式即可；

（2）利用平方的非負(fù)數(shù)可知：，移項(xiàng)即可解答；

（3）根據(jù)平移規(guī)則得到的解析式：. 則Ａ(m，m２)，B（n，n２），利用勾股定理列式求得：，代入面積公式得到SΔAOB===，再利用（2）中結(jié)論即可得出結(jié)論．

（1）∵ 拋物線過點(diǎn)，

∴，∴，

∴.

又∵ 拋物線的對(duì)稱軸為直線

∴ ，即.

∴ 拋物線的解析式為.

（2） ∵，∴，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，成立.

（3）由（1）知拋物線解析式為，

拋物線是拋物線先向上平移4個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位后得到的，

∴ 拋物線的解析式為.

∵，是上的兩個(gè)不同點(diǎn)，

∴Ａ(m，m２)，B（n，n２）.

又∵，，，

∴ OA2+OB2=AB2，

∴ m2＋m4＋n2＋n4＝(m－n)2＋(m2－n2)2，

化簡(jiǎn)得：.

∵ SΔAOB==

.

由（2）知：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立.

又∵，，且，

∴，，

∴ SΔAOB的最小值為１，此時(shí)m＝1，Ａ(1,1)，

∴ 直線OA的一次函數(shù)解析式為y＝x．