Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E為AB上一動點（不與A、B重合）．將△EBC沿CE翻折至△EFC，延長EF交邊AD于點G．

（1）連結AF，若AF∥CE．證明：點E為AB的中點；

（2）證明：GF＝GD；

（3）若AD＝5，設EB＝x，GD＝y，求y與x的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）y＝

【解析】

（1）由翻折的性質可知，∠BEC＝∠FEC，EB＝EF，根據平行線的性質和等量代換可證得∠EAF＝∠EFA，從而可得EA＝EF，進而可得結論；

（2）如圖所示，連接CG，由正方形的性質和折疊的性質可得DC＝FC，∠GFC＝∠D=90°，從而可利用HL證明Rt△GFC≌Rt△GDC，進而可得結論；

（3）根據題意可用含x、y的代數式表示出AG，AE，GE，然后在Rt△AEG中由勾股定理即可得出結果．

解：（1）證明：由翻折的性質可知，∠BEC＝∠FEC，EB＝EF，

∵AF∥CE，

∴∠BEC＝∠EAF，∠FEC＝∠EFA，

∴∠EAF＝∠EFA，

∴EA＝EF．

∴EA＝EB，即點E為AB的中點；

（2）證明：如圖所示，連接CG．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠D＝∠B＝90°，DC＝BC，

由翻折的性質可知：∠EFC＝∠B＝90°，BC＝FC，

∴∠GFC＝∠D＝90°，FC＝DC，

又∵CG=CG，

∴Rt△GFC≌Rt△GDC（HL），

∴GF＝GD；

（3）∵AD＝5，EB＝x，GD＝y，

∴AG＝5﹣y，AE＝5﹣x，GE＝x+y，

則在Rt△AEG中，∵AG2+AE2＝GE2，

∴（5﹣y）2+（5﹣x）2＝（x+y）2，

整理，得：y＝，

即y與x的函數關系式是y＝．