Question

（2012•延慶縣二模）如圖，等邊△ABC中，邊長AB=3，點D在線段BC上，點E在射線AC上，點D沿BC方向從B點以每秒1個單位的速度向終點C運動，點E沿AC方向從A點以每秒2個單位的速度運動，當D點停止時E點也停止運動，設運動時間為t秒，若D、E、C三點圍成的圖形的面積用y來表示，則y與t的圖象是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：過點D作DF⊥AC于點F，根據點D的速度求出CD的長度，然后解直角三角形求出DF的長度，再分點E在AC上與在AC的延長線上兩種情況求出CE的長度，然后根據三角形的面積公式列式表示出y、t的關系式，再根據相應的函數圖象解答即可．

解答：解：過點D作DF⊥AC于點F，
∵點D的速度是每秒1個單位，
∴CD=3-t，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴DF=CD•sin60°=

3

2

（3-t），
①點E在AC上時，∵點E的速度是每秒2個單位，
∴CE=3-2t，
∴y=

1

2

（3-2t）×

3

2

（3-t）=

3

2

t²-

9 3

4

t+

9 3

4

，
當3-2t=0，即t=

3

2

時，CE=0，y=0，
即與x軸的交點坐標為（

3

2

，0），
與y軸的交點坐標為（0，

9 3

4

）；
②點E在AC的延長線上時，CE=2t-3，
y=

1

2

（2t-3）×

3

2

（3-t）=-

3

2

t²+

9 3

4

t-

9 3

4

，
當3-2t=0時，即t=

3

2

時，CE=0，y=0，
當3-t=0時，即t=3時，CD=0，y=0，
所以，與x軸的交點坐標為（

3

2

，0）、（3，0），
綜上所述，函數圖象為兩段拋物線，只有C選項圖象符合．
故選C．

點評：本題考查了動點問題的函數圖象，等邊三角形的性質，解直角三角形，作輔助線然后分兩段求出相應的函數解析式是解題的關鍵．