Question

【題目】如圖，直線經過矩形的對角線的中點，分別與矩形的兩邊相交于點、.

(1)求證：；

(2)若，則四邊形是______形，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，若，，求的面積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)菱，理由見解析；(3)．

【解析】

（1）根據矩形的性質得到AD∥BC，根據平行線的性質得到∠EDO=∠FBO，由全等三角形的判定定理即可得到結論；

（2）根據平行四邊形的判定定理得到四邊形BEDF是平行四邊形，由菱形的判定定理即可得到結論；

（3）根據勾股定理得到，設BE=DE=x，得到AE=8-x，根據勾股定理列方程得到，根據三角形的面積公式即可得到結論．

解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EDO＝∠FBO，

∵點O是BD的中點，

∴BO＝DO，

在△BOF與△DOE中，，

∴△BOF≌△DOE(ASA)，

∴OE＝OF；

(2)四邊形BEDF是菱形，

理由：∵OE＝OF，OB＝OD，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵EF⊥BD，

∴平行四邊形BEDF是菱形；

故答案為：菱；

(3)∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵AD＝8，BD＝10，

，

設BE＝DE＝x，

∴AE＝8﹣x，

∵AB2+AE2＝BE2，

∴62+(8﹣x)2＝x2，

解得：，

∴BE＝，

∵BO＝BD＝5，

∴OE＝，

∴△BDE的面積．