Question

【題目】如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標軸上，點B的坐標為（-4，4）．點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向點O運動；點Q從點O同時出發，以相同的速度沿x軸的正方向運動，規定點P到達點O時，點Q也停止運動．連接BP，過P點作BP的垂線，與過點Q平行于y軸的直線l相交于點D．BD與y軸交于點E，連接PE．設點P運動的時間為t（s）．

（1）寫出∠PBD的度數和點D的坐標（點D的坐標用t表示）；

（2）探索△POE周長是否隨時間t的變化而變化，若變化，說明理由；若不變，試求這個定值．

（3）當t為何值時，△PBE為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）45°，（t，t）．（2）△POE周長是定值，該定值為8．（3）當t為4秒或（4-4）秒時，△PBE為等腰三角形．

【解析】

試題（1）易證△BAP≌△PQD，從而得到DQ=AP=t，從而可以求出∠PBD的度數和點D的坐標；

（2）由于∠EBP=45°，故圖1是以正方形為背景的一個基本圖形，容易得到EP=AP+CE．容易得到△POE周長等于AO+CO=8，從而解決問題；

（3）EP=AP+CE，由于△PBE底邊不定，故分三種情況討論，借助于三角形全等及勾股定理進行求解，然后結合條件進行取舍，最終確定符合要求的t值．

試題解析：（1）如圖1，

由題可得：AP=OQ=1×t=t（秒）

∴AO=PQ．

∵四邊形OABC是正方形，

∴AO=AB=BC=OC，

∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．

∵DP⊥BP，

∴∠BPD=90°．

∴∠BPA=90°-∠DPQ=∠PDQ．

∵AO=PQ，AO=AB，

∴AB=PQ．

在△BAP和△PQD中，

∴△BAP≌△PQD（AAS）．

∴AP=QD，BP=PD．

∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°．

∵AP=t，

∴DQ=t．

∴點D坐標為（t，t）．

（2）∵∠EBP=45°

∴由圖1可以得到EP=CE+AP，

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE

=AO+CO

=4+4

=8．

∴△POE周長是定值，該定值為8．

（3）①若PB=PE，

由△PAB≌△DQP得PB=PD，

顯然PB≠PE，

∴這種情況應舍去．

②若EB=EP，

則∠PBE=∠BPE=45°．

∴∠BEP=90°．

∴∠PEO=90°-∠BEC=∠EBC．

在△POE和△ECB中，

∴△POE≌△ECB（AAS）．

∴OE=CB=OC．

∴點E與點C重合（EC=0）．

∴點P與點O重合（PO=0）．

∵點B（-4，4），

∴AO=CO=4．

此時t=AP=AO=4．

③若BP=BE，

在Rt△BAP和Rt△BCE中，

∴Rt△BAP≌Rt△BCE（HL）．

∴AP=CE．

∵AP=t，

∴CE=t．

∴PO=EO=4-t．

∵∠POE=90°，

∴PE=．

延長OA到點F，使得AF=CE，連接BF，如圖2所示．

在△FAB和△ECB中，

∴△FAB≌△ECB．

∴FB=EB，∠FBA=∠EBC．

∵∠EBP=45°，∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠EBC=45°．

∴∠FBP=∠FBA+∠ABP

=∠EBC+∠ABP=45°．

∴∠FBP=∠EBP．

在△FBP和△EBP中，

∴△FBP≌△EBP（SAS）．

∴FP=EP．

∴EP=FP=FA+AP

=CE+AP．

∴EP=t+t=2t．

∴（4-t）=2t．

解得：t=4-4

∴當t為4秒或（4-4）秒時，△PBE為等腰三角形．