Question

已知直線L₁：y=

3

4

x+3和直線L₂：y=-2x+2．
（1）在坐標系中畫出它們的圖象；
（2）求這兩條直線與x軸圍成的三角形的面積；
（3）設直線L₂ ：y=-2x+2與x軸交于點A，等腰直角△ABC的一個頂點B在直線L₁：y=

3

4

x+3上，另一個頂點C在x軸上（C在A左邊），直接寫出C點的坐標．

Answer 1

考點：兩條直線相交或平行問題

專題：計算題

分析：（1）先根據坐標軸上點的坐標特征求出兩直線與坐標軸的交點坐標，然后利用描點法畫出兩條直線；
（2）利用兩直線相交的問題，通過解方程組

y= 3 4 x+3 y=-2x+2

得到兩直線的交點P的坐標，然后根據三角形面積公式求解；
（3）分類討論：當∠ACB=90°時，如圖1，設C（t，0），則B（t，

3

4

t+3），根據等腰直角三角形的性質得AC=BC，即

3

4

t+3=1-t，解得t=-

8

7

，于是可得此時C點坐標；當∠ABC=90°時，如圖2，作BH⊥AC于H，根據等腰三角形的性質得AH=CH，設C（t，0），則H點坐標為（

t+1

2

，0），所以B（

t+1

2

，

3

8

t+

27

8

），再根據等腰直角三角形的性質得BH=

1

2

AC，即

3

8

t+

27

8

=

1

2

（1-t），解得t=-

31

7

，于是可得此時C點坐標；當∠CAB=90°時，如圖3，當x=1時，y=

3

4

x+3=

15

4

，根據等腰直角三角形的性質得AC=AB=

15

4

，再計算出OC=AC-OA=

11

4

，于是可得此時C點坐標．

解答：解：（1）當x=0時，y=

3

4

x+3=3；當y=0時，

3

4

x+3=0，解得x=-4，則直線y=

3

4

x+3與x軸的交點坐標為（-4，0），與y軸的交點坐標為（0，3），

同理可得直線y=-2x+2與x軸的交點坐標為（1，0），與y軸的交點坐標為（0，2），
如圖；


（2）解方程組

y= 3 4 x+3 y=-2x+2

得

x=- 4 11 y= 30 11

，則兩直線的交點P的坐標為（-

4

11

，

30

11

），
所以這兩條直線與x軸圍成的三角形的面積=

1

2

×（1+4）×

30

11

=

75

11

；
（3）當∠ACB=90°時，如圖1，設C（t，0），則B（t，

3

4

t+3），

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC，
即

3

4

t+3=1-t，解得t=-

8

7

，
此時C點坐標為（-

8

7

，0）；
當∠ABC=90°時，如圖2，作BH⊥AC于H，則AH=CH，
設C（t，0），則H點坐標為（

t+1

2

，0），所以B（

t+1

2

，

3

8

t+

27

8

），

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BH=

1

2

AC，
即

3

8

t+

27

8

=

1

2

（1-t），解得t=-

31

7

，
此時C點坐標為（-

31

7

，0）；
當∠CAB=90°時，如圖3，

當x=1時，y=

3

4

x+3=

15

4

，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=AB，
即AC=

15

4

，
∴OC=AC-OA=

11

4

，
此時C點坐標為（-

11

4

，0），
綜上所述，C點坐標為（-

31

7

，0）或（-

8

7

，0）或（-

11

4

，0）．

點評：本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關系，那么他們的自變量系數相同，即k值相同．