Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OCED是菱形；

（2）若∠CAB＝60，BC的長為，求四邊形OCED的周長

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）16

【解析】

(1)首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據矩形的性質，易得OC=OD，即可判定四邊形CODE是菱形；

(2) 根據矩形的性質及∠CAB＝60，可證△AOB是等邊三角形，從而OA=OB=OC=AB，設AB＝x，AC＝ 2x，然后根據勾股定理求出x的值，即可求出四邊形OCED的周長.

（1）證明：∵DE∥AC ，CE∥BD，

∴四邊形OCED是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴ AC＝BD，

∴OC＝OD，

∴四邊形OCED是菱形．

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝ 90°.

∴AC=BD.

∴OA=OB=OC，

又∵∠CAB＝60，

∴△AOB是等邊三角形，

∴OA=OB=OC=AB.

設AB＝x，

∴AC＝ 2x，

∴，

∴，（舍），

∴OC=4，

由（1）可知四邊形OCED是菱形，故它的周長為16cm．