Question

【題目】已知二次函數圖象的頂點在原點，對稱軸為軸．一次函數的圖象與二次函數的圖象交于，兩點（在的左側），且點坐標為．平行于軸的直線過點．

求一次函數與二次函數的解析式；

判斷以線段為直徑的圓與直線的位置關系，并給出證明；

把二次函數的圖象向右平移個單位，再向下平移個單位，二次函數的圖象與軸交于，兩點，一次函數圖象交軸于點．當為何值時，過，，三點的圓的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

【答案】（1），；（2）以線段為直徑的圓與直線的位置關系是相切，證明詳見解析；（3）當為時，過，，三點的圓的面積最小，最小面積是．

【解析】

（1）設二次函數的解析式是y=ax2，把A（-4，4）代入求出a代入一次函數求出k，即可得到答案；

（2）求出B、O的坐標，求出OA和O到直線y=-1的距離即可得出答案；

（3）作MN的垂直平分線，△FMN外接圓的圓心O在直線上，求出MN、DN，根據勾股定理求出O'F=O'N的圓心坐標的縱坐標Y，求出y取何值時r最小，即可求出答案.

解:（1）設二次函數的解析式是y=ax2（a≠0），

把A（-4，4）代入得：4=16a，

a=，

∴y=x2，

把A（-4，4）代入y=kx+1得：4=-4k+1，

∴k=-，

∴y=-x+1，

∴一次函數與二次函數的解析式分別為，．

答：以線段為直徑的圓與直線的位置關系是相切．

證明：得：，，

∴，

的中點的坐標是，

，

到直線的距離是，

∴以線段為直徑的圓與直線的位置關系是相切．

解：作的垂直平分線，外接圓的圓心在直線上，

由于平移后的拋物線對稱軸為，對稱軸交軸于，

，

平移后二次函數的解析式是，即，

當時，，

設，，在的右邊，

則，，

∴，

，

設圓心坐標，根據，

∴，

，

，

當時，半徑有最小值，圓面積最小為，

答：當為時，過，，三點的圓的面積最小，最小面積是．