Question

如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB為直徑的⊙O與DC相切于E．已知AB=8，邊BC比AD大6．
（1）求邊AD、BC的長；
（2）在直徑AB上是否存在一動點P，使以A、D、P為頂點的三角形與△BCP相似？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：過D作DF⊥BC于F，設AD=x，則DE=AD=x，EC=BC=x+6，根據勾股定理就得到一個關于x的方程，就可以解得AD的長；△ADP和△BCP相似，有△ADP∽△BCP和△ADP∽△BPC兩種情況進行討論，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出AP的長．

解答：解：（1）方法1：過D作DF⊥BC于F，
在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC-AD=6，
∴DC²=6²+8²=100，即DC=10．（1分）
設AD=x，則DE=AD=x，EC=BC=x+6，
∴x+（x+6）=10．
∴x=2．
∴AD=2，BC=2+6=8．（4分）
方法2：連OD、OE、OC，
由切線長定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，
設AD=x，則BC=x+6，
由射影定理可得：OE²=DE•EC．（2分）
即：x（x+6）=16，
解得x₁=2，x₂=-8，（舍去）
∴AD=2，BC=2+6=8．（4分）

（2）存在符合條件的P點．
設AP=y，則BP=8-y，△ADP與△BCP相似，有兩種情況：
①△ADP∽△BCP時，有

AD

BC

=

AP

PB

，即

2

8

=

y

8-y

∴y=

8

5

；（6分）
②△ADP∽△BPC時，有

AD

BP

=

AP

BC

，即

2

8-y

=

y

8

∴y=4．（7分）
故存在符合條件的點P，此時AP=

8

5

或4．（8分）

點評：本題主要考查了相似三角形的判定性質，對應邊的比相等的兩三角形相似．