Question

【題目】閱讀下列材料：

數學課上，老師出示了這樣一個問題：

如圖1，正方形為中，點、在對角線上，且，探究線段、、之間的數量關系，并證明.

某學習小組的同學經過思考，交流了自己的想法：

小明：“通過觀察和度量，發現與存在某種數量關系”；

小強：“通過觀察和度量，發現圖1中線段與相等”；

小偉：“通過構造（如圖2），證明三角形全等，進而可以得到線段、、之間的數量關系”.

老師：“此題可以修改為‘正方形中，點在對角線上，延長交于點，在上取一點，連接（如圖3）.如果給出、的數量關系與、的數量關系，那么可以求出的值”.

請回答：

（1）求證：；

（2）探究線段、、之間的數量關系，并證明；

（3）若，，求的值（用含的代數式表示）.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），證明詳見解析；（3）

【解析】

(1)依題意由SAS可證：.可推

（2）過點作，且，連接、，由SAS可證

可得，可得.利用勾股定理即可知：.即.

（3）延長至使，連接.設，，

則，，，，.由SAS可證，可得 ，，由角關系推出.

所以.推出，所以.得出結論.

（1）證明：∵四邊形為正方形，

∴，.

∵，

∴.

∴.

（2）結論：.

證明：如圖2，過點作，且，連接、，

則，.

∵，，

∴

∴，.

∴.

∴.

即.

（3）解：延長至使，連接.

設，，

則，，.

∵四邊形為正方形，

∴，，

，.

∴，

∴，，

.

∴.

∴.

∴.

∴.