Question

【題目】在習題課上，老師讓同學們以課本一道習題“如圖1，A，B，C，D四家工廠分別坐落在正方形城鎮的四個角上．倉庫E和Q分別位于AD和DC上，且ED＝QC．證明兩條直路BE＝AQ且BE⊥AQ．”為背景開展數學探究．

(1)獨立思考：將上題條件中的ED＝QC去掉，將結論中的BE⊥AQ變為條件，其他條件不變，那么BE＝AQ還成立嗎？請寫出答案并說明理由；

(2)合作交流：“祖沖之”小組的同學受此問題的啟發提出：如圖2，在正方形ABCD內有一點P，過點P作EF⊥GH，點E、F分別在正方形的對邊AD、BC上，點G、H分別在正方形的對邊AB、CD上，那么EF與GH相等嗎？并說明理由．

(3)拓展應用：“楊輝”小組的同學受“祖沖之”小組的啟發，想到了利用圖2的結論解決以下問題：

如圖3，將邊長為10cm的正方形紙片ABCD折疊，使點A落在DC的中點E處，折痕為MN，點N在BC邊上，點M在AD邊上．請你畫出折痕，則折痕MN的長是　 　；線段DM的長是　 　．

Answer 1

【答案】(1)BE＝AQ，理由見解析；(2)EF＝GH，理由見解析；(3)5cm；m．

【解析】

（1）根據BE⊥AQ可求出∠AEB=∠AQD，再由AB=AD，∠BAE=∠ADQ=90°，可證明△ABE≌△DAQ，則結論得出；

（2）可通過構建與已知條件相關的三角形來求解．作BM∥EF交AD于M，作AN∥GH交CD于N，那么BM=EF，AN=GH，（1）中我們已證得△ABM、△DAN全等，那么BM=AN，即EF=GH；

（3）求出AE長，由（2）可知MN=AE，設DM=xcm，則AM=ME=（10-x）cm．將所有未知量轉化到直角三角形DME中，利用勾股定理解答即可．

(1)BE＝AQ，

理由如下：∵BE⊥AQ，

∴∠AEB＝90°﹣∠DAQ＝∠AQD，

又∵AB＝AD，∠BAE＝∠QDA＝90°，

∴△ABE≌△DAF(AAS)，

∴BE＝AQ；

(2)EF＝GH，理由如下：

如圖1，作BM∥EF交AD于M，作AN∥GH交CD于N，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四邊形AGHN四邊形BMEF都是平行四邊形，

∴BM＝EF，AN＝GH，

由(1)知，BM＝AN，

∴EF＝GH；

(3)如圖2，

∵E為DC的中點，

∴DE＝5cm，

∴

∵MN⊥AE，由(2)可知，

∴MN＝AE＝5cm，

設DM＝xcm，則AM＝ME＝(10﹣x)cm．

在Rt△DME中，DM2+DE2＝ME2，

即x2+52＝(10﹣x)2，

解得x＝．

∴線段DM的長為cm．

故答案為：5cm，cm．