Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上的一個動點，沿著AE翻折矩形，使點B落在點F處若AB＝3，BC＝AB，解答下列問題：

（1）在點E從點B運動到點C的過程中，求點F運動的路徑長；

（2）當點E是BC的中點時，試判斷FC與AE的位置關系，并說明你的理由；

（3）當點F在矩形ABCD內部且DF＝CD時，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）2π；（2）FC與AE的位置關系為：FC∥AE；（3）

【解析】

(1)根據翻折的性質可得AF＝AB，∠BAE＝∠EAF，當當點E運動到點C時利用三角函數求出∠BAF的度數，最后再根據弧長公式，求出點F的運動路徑長.（2）根據題意知道BE＝EF＝EC，再利用三角形內角和∠BFE+∠CFE＝90°，最后根據翻折的性質求出∠BHE＝90°，即可證出FC與AE的位置關系.(3) 過點F作FM⊥AD于點M，延長MF交BC于點N，根據題意求出AM的值，然后利用勾股定理求出MF，根據矩形的性質得到FN, 設BE＝x，則EN＝﹣x，利用勾股定理求出BE的長.

解：（1）由翻折的性質得：AF＝AB，∠BAE＝∠EAF，

∴點F運動的路徑是以A為圓心，AB為半徑，∠BAF為圓心角的弧長，如圖1所示：

當點E運動到點C時，tan∠BAE＝=

∴∠BAE＝60°，∠BAF＝120°，

∴點F的運動路徑長為：＝2π；

（2）FC與AE的位置關系為：FC∥AE；理由如下：

連接BF交AE于點H，如圖2所示：

由折疊性質得：BE＝EF，

∵BE＝CE，

∴BE＝EF＝EC，

∴∠FBE＝∠BFE，∠CFE＝∠FCE，

∵∠FBE+∠BFE+∠CFE+∠FCE＝180°，

∴∠BFE+∠CFE＝90°，即∠BFC＝90°，

由折疊的性質得：BF⊥AE，

∴∠BHE＝90°，

∴FC∥AE；

（3）過點F作FM⊥AD于點M，延長MF交BC于點N，如圖3所示：

∵AB＝3，BC＝AB，

∴BC＝3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝3，DF＝DC＝3，

∴AF＝DF，

∵MF⊥AD，

∴AM＝AD＝

在Rt△MAF中，MF＝＝＝，

∵∠BAD＝∠B＝90°，MF⊥AD，

∴四邊形ABNM是矩形，

∴BN＝AM＝，MN＝AB＝3，

∴FN＝MN﹣MF＝3﹣＝，

設BE＝x，則EN＝﹣x，

由折疊的性質得：FE＝BE＝x，

在Rt△EFN中，EF2﹣EN2＝FN2，

即：x2﹣（﹣x）2＝（）2，

解得：x＝，

∴BE的長為．