Question

【題目】如圖，二次函數的圖象經過點，直線與軸交于點為二次函數圖象上任一點．

求這個二次函數的解析式；

若點在直線的上方，過分別作和軸的垂線，交直線于不同的兩點(在的左側)，求周長的最大值；

是否存在點使得是以為直角邊的直角三角形？如果存在，直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】；最大值為；存在，或或

【解析】

（1）如圖1，運用待定系數法求這個二次函數的解析式；

（2）如圖2，先求直線BC的解析式為y＝x﹣2，設出點E的坐標，寫出點G的坐標（﹣m2+3m+8，﹣m2+m+2），求出EG的長，證明△EFG∽△DOB，根據相似三角形周長的比等于相似比表示△EFG周長＝（﹣m2+2m+8）＝ [﹣（m﹣1）2+9]，根據二次函數的頂點確定其最值；

（3）分二種情況討論：分別以D、B兩個頂點為直角時，列方程組，求出點E的坐標，根據兩垂直直線的一次項系數為負倒數得出結論．

解：（1）如圖1，把A（﹣1，0），B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，得：

，

解得：，

則二次函數的解析式y＝﹣x2+x+2；

（2）如圖2，設直線BC的解析式為y＝kx+b，

把B（4，0），C（﹣2，﹣3）代入y＝kx+b中得：

，

解得：，

∴直線BC的解析式為y＝x﹣2，

設E（m，﹣m2+m+2），﹣2＜m＜4，

∵EG⊥y軸，

∴E和G的縱坐標相等，

∵點G在直線BC上，

當y＝﹣m2+m+2時，

﹣m2+m+2＝x﹣2，

解得：x＝﹣m2+3m+8，

則G（﹣m2+3m+8，﹣m2+m+2），

∴EG＝﹣m2+3m+8﹣m＝﹣m2+2m+8，

∵EG∥AB，

∴∠EGF＝∠OBD，

∵∠EFG＝∠BOD＝90°，

∴△EFG∽△DOB，

∴，

∵D（0，﹣2），B（4，0），

∴OB＝4，OD＝2，

∴BD＝＝2，

∴＝，

∴△EFG的周長＝（﹣m2+2m+8），

＝ [﹣（m﹣1）2+9]，

∴當m＝1時，△EFG周長最大，最大值是；

（3）存在點E，

分兩種情況：

①若∠EBD＝90°，則BD⊥BE，如圖3，

設BD的解析式為：y＝kx+b，

把B（4，0）、D（0，﹣2）代入得：

，

解得：，

∴BD的解析式為：y＝x﹣2，

∴設直線EB的解析式為：y＝﹣2x+b，

把B（4，0）代入得：b＝8，

∴直線EB的解析式為：y＝﹣2x+8，

∴，

﹣x2+x+2＝﹣2x+8，

解得：x1＝3，x2＝4（舍），

當x＝3時，y＝﹣2×3+8＝2，

∴E（3，2），

②當BD⊥DE時，即∠EDB＝90°，如圖4，

同理得：DE的解析式為：y＝﹣2x+b，

把D（0，﹣2）代入得：b＝﹣2，

∴DE的解析式為：y＝﹣2x﹣2，

∴，

解得：或，

∴E（8，﹣18）或（﹣1，0），

綜上所述，點E（3，2）或（8，﹣18）或（﹣1，0），

故存在滿足條件的點E，點E的坐標為（3，2）或（﹣1，0）或（8，﹣18）．