Question

【題目】（1）求證：無論p為何值，方程(x－2)(x－3)－p2=0總有兩個不相等的實數根.

（2）若方程(x－2)(x－3)－p2=0的兩根為正整數，試求p的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）0或－或

【解析】

（1）要證明方程總有兩個不相等的實數根，那么只要證明△＞0即可；

（2）將方程(x－2)(x－3)－p2=0化簡為x2－5x+6－p2=0，其兩根為正整數，求出兩根，根據兩根之積等于6－p2求解即可.

(1)把方程(x－2)(x－3)－p2=0化為一般形式得：

x2－5x+6－p2=0

△=(－5)2－4×1×(6－p2)=4p2+1

對于任意實數p，p2≥0

∴△=4p2+1>0

∴無論p為何值，方程(x－2)(x－3)－p2=0總有兩個不相等的實數根.

（2）解：方程(x－2)(x－3)－p2=0化簡得：x2－5x+6－p2=0

設方程的兩個實數根為a和b.

則：a+b=5. 因為方程(x－2)(x－3)－p2=0的兩根為正整數，所以，方程的根有下列兩種情形：

方程的兩個實數根為1，4；此時ab=4

方程的兩個實數根為2，3; 此時ab=6

∴當ab=4時，6－p2=4，解得：p=±;

當ab=6 時，6－p2=6，解得：p=0;

綜上，方程(x－2)(x－3)－p2=0的兩根為正整數，則p的值為0或－或.