Question

【題目】在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角頂點放在點P處，直角尺的兩邊分別交AB、BC于點E、F，連接EF(如圖1).

(1)當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合(如圖2).

①求證：△APB∽△DCP；

②求PC、BC的長.

(2)探究：將直角尺從圖2中的位置開始，繞點P順時針旋轉，當點E和點A重合時停止.在這個過程中(圖1是該過程的某個時刻)，觀察、猜想并解答：

① tan∠PEF的值是否發生變化？請說明理由.

② 設AE=x，當△PBF是等腰三角形時，請直接寫出x的值.

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②PC=2，BC=5；(2)①tan∠PEF的值不變；②x=或x=或x=.

【解析】

（1）①由勾股定理求BP，利用互余關系證明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP, 再根據BC=AD=AP+DP即可求得BC的長；

（2）①tan∠PEF的值不變．理由為：過F作FG⊥AD，垂足為點G. 則四邊形ABFG是矩形，同（1）的方法證明△APE∽△GFP，得相似比，再利用銳角三角函數的定義求值；②利用相似比求GP，再矩形性質求出BF，△PBF是等腰三角形，分三種情況討論：(Ⅰ) 當PB=PF時，根據BF=2AP求值；當BF=BP時，(Ⅱ)根據BP=求值；(Ⅲ) 當BF=PF時，根據PF=即可求出x值.

解：(1)①如圖3.2，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2，

∴在Rt△ABC中，

∠1+∠2=90°，BP=.

又∵∠BPC=90°,

∴∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3.

∴△APB∽△DCP.

②由△APB∽△DCP.

∴，即.

∴PC=2，DP=4.

∴BC=AD=AP+DP=5.

(2)①tan∠PEF的值不變.

理由如下：

如圖3.1，過F作FG⊥AD，垂足為點G. 則四邊形ABFG是矩形.

∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2，

∴在Rt△APE中，∠1+∠2=90°，

又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°，

∴∠1=∠3.

∴△APE∽△GFP，

∴.

∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=2.

∴tan∠PEF的值不變.

②由△APE∽△GFP.

∴.

∴GP=2AE=2x，

∵四邊形ABFG是矩形.

∴BF=AG=AP+GP=2x+1.

△PBF是等腰三角形，分三種情況討論：

(Ⅰ)當PB=PF時，點P在BF的垂直平分線上.

∴ BF=2AP. 即2x+1=2，

∴x=.

(Ⅱ)當BF=BP時，

BP=BP=

∴2x+1=.

∴x=.

(Ⅲ)當BF=PF時，

∵PF=，

∴(2x)2+22=(2x+1)2，

∴x=.