Question

【題目】如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點M，連接OM，過點M作⊙O的切線交邊BC于N．

（1）求證：△ODM∽△MCN；
（2）設DM=x，OA=R，求R關于x的函數關系式；
（3）在動點O逐漸向點D運動（OA逐漸增大）的過程中，△CMN的周長如何變化？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵MN切⊙O于點M，∴∠OMN=90°，∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，∴∠OMD=∠MNC，又∵∠D=∠C=90°，∴△ODM∽△MCN

（2）解：在Rt△ODM中，DM=x，設OA=OM=R，∴OD=AD﹣OA=8﹣R，由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，

∴64﹣16R+R2+x2=R2，∴R=

（3）解：∵CM=CD﹣DM=8﹣x，OD=8﹣R=8﹣ ，且有△ODM∽△MCN，∴ ，∴代入得到：CN= ．

同理 ，∴代入得到：MN= ，∴△CMN的周長=CM+CN+MN=（8﹣x）+ + =（8﹣x）+（x+8）=16，

在點O的運動過程中，△CMN的周長始終為16，是一個定值

【解析】（1）根據切線的性質得∠OMN=90°，根據同角的余角相等得出∠OMD=∠MNC，根據正方形的性質得出∠D=∠C=90°，從而判斷出△ODM∽△MCN；
（2）在Rt△ODM中，DM=x，根據同圓的半徑相等得出OA=OM=R，根據線段的和差得出OD=AD﹣OA=8﹣R，根據勾股定理得出方程（8﹣R）2+x2=R2，變形方程得出R關于x的函數關系式；
（3）CM=CD﹣DM=8﹣x，OD=8﹣R，根據相似三角形對應邊成比例得出=,代入得出CN,同理得出MN，根據△CMN的周長=CM+CN+MN列出代數式，化簡合并就知道答案了。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解正方形的性質的相關知識，掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．