Question

【題目】如圖，已知O為直線AB上的一點，CD⊥AB于點O，PO⊥OE于點O，OM平分∠COE，點F在OE的反向延長線上．

(1)當OP在∠BOC內，OE在∠BOD內時，如圖①所示，直接寫出∠POM和∠COF之間的數量關系；

(2)當OP在∠AOC內且OE在∠BOC內時，如圖②所示，試問(1)中∠POM和∠COF之間的數量關系是否發生變化？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠POM＝∠COF，理由見解析；（2）∠POM＝∠COF，理由見解析

【解析】

（1）利用垂直的定義，CD⊥AB，PO⊥EO，等量代換得∠COP=∠BOE，利用角平分線的性質，得∠POM=∠POB=(90°-∠POC)，∠COF=90°-∠COP，得出結論；
（2）利用垂直的定義，同角的余角相等可得∠COP＝∠AOF，可推出∠COP＋∠COB＝∠AOF＋∠AOC，即∠BOP＝∠COF，由對頂角相等得∠AOF＝∠BOE＝∠COP，利用角平分線的性質，得∠COP＋∠COM＝∠BOE＋∠MOE，即∠POM＝∠BOP，等量代換得出結論．

解：(1)∠POM＝∠COF.

證明：∵CD⊥AB，

∴∠COP+∠BOP=90°，

∵OP⊥OE，

∴∠BOE+∠BOP=90°，

∴∠COP=∠BOE，

∵OM平分∠COE，

∴∠POM=∠MOB=∠POB= (90°∠POC)，

∵∠COF=90°∠COP，

∴∠POM=∠COF；

(2)不發生變化．理由：∵CD⊥AB于點O，

∴∠AOP＋∠COP＝90°.

∵PO⊥OE于點O，

∴∠AOP＋∠AOF＝90°，

∴∠COP＝∠AOF.

又∵∠AOC＝∠COB＝90°，

∴∠COP＋∠COB＝∠AOF＋∠AOC，

即∠BOP＝∠COF.

∵∠AOF＝∠BOE，∴∠COP＝∠BOE.

∵OM平分∠COE，∴∠COM＝∠MOE，

∴∠COP＋∠COM＝∠BOE＋∠MOE，

∴∠POM＝∠BOP，

∴∠POM＝∠COF.

故答案為：（1）∠POM＝∠COF，理由見解析；（2）∠POM＝∠COF，理由見解析.