Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°．過點B作DB⊥AB交CA的延長線于點D，過點C作CE⊥AC交BA的延長線于點E，點F為AE的中點，連接CF．

（1）求證：△DBA≌△ECA；

（2）△CAF是等邊三角形嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△AFC是等邊三角形．理由見解析.

【解析】

（1）根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；

（2）利用直角三角形斜邊中線的性質，再證明△ACF是等邊三角形即可判斷．

（1）證明：∵BD⊥AB，EC⊥CA，

∴∠DBA＝∠ECA＝90°，

在△DBA和△ECA中，

，

∴△DBA≌△ECA（ASA）．

（2）解：∵△DBA≌△ECA，

∴AD＝AE，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°，

∴∠FAC＝∠ABC+∠ACB＝60°，

∵AF＝FE，∠ACE＝90°，

∴CF＝AF＝EF，

∴△AFC是等邊三角形．