Question

【題目】同學們知道，|8﹣3|表示8與3的差的絕對值，也可理解為數軸上表示數8與3兩點間的距離．試探索：

（1）填空：|8+3|表示數軸上數8與數　 　兩點間的距離；

（2）|x+5|+|x﹣2|表示數軸上數x與數　 　的距離和數x與數　 　的距離的和．

（3）滿足|x+5|+|x﹣2|＝7的所有整數x的值是　 　．

（4）由以上探索猜想對于任何有理數x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有寫出最小值；如果沒有，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣3；（2）﹣5，2；（3）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（4）|x﹣3|+|x﹣6|≥3

【解析】

（1）由差的絕對值的幾何意義求出數為-3；
（2）由差的絕對值的幾何意義求出兩定點對應的數為-5，2；
（3）由差的絕對值的幾何意義求出到兩定點距離和為7的整數為-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2；
（4）由動點在線段AB不同位置分類說明，差的絕對值的幾何意義求出到兩定點距離和的最小值為3．

解：（1）∵|8﹣3|表示數8與3兩點間的距離，

∴|8+3|表示數軸上數8與數﹣3兩點間的距離，

故答案為﹣3；

（2）同理可得：|x+5|+|x﹣2|表示數軸上數x與數﹣5的距離和數x與數2的距離的和，

故答案為﹣5，2；

（3）點P對應的數為x，如圖1所示：

∴線段AB上所有整數點對應x的取值﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2是都滿足AP+BP＝7，

故答案為﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；

（4）有最小值，最小值為3．其理由如下：

①若點P在線段AB上時，

∴|x﹣3|+|x﹣6|＝AP+BP＝3，

②若點P在線段AB的延長線上時，

∴|x﹣3|+|x﹣6|＝AP+BP＞3，

③若點P在線段AB的反向延長線上時，

∴|x﹣3|+|x﹣6|＝AP+BP＞3，

綜合所述：|x﹣3|+|x﹣6|≥3．

∴|x﹣3|+|x﹣6|有最小值為3.