Question

【題目】如圖，，，C、B、D在同一條直線上．

（1）若，，連接，求的長．

（2）如圖設a、b、c是和的邊長，這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為“勾股方程”．

①寫出一個“勾股方程”；

②判斷關于x的“勾股方程”根的情況并說明理由；

③若是“勾股方程”的一個根，且四邊形的周長是，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）（2）①②關于x的“勾股方程”必有實數根，理由見解析．③

【解析】

（1）由Rt△ABC≌Rt△BED，知BD=AC=1，DE=BC= ∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，再證AB=BE=，∠ABE=90°，利用勾股定理可得答案；

（2）①直接找一組勾股數代入方程即可；②通過判斷根的判別式△的正負來證明結論；③利用根的意義和勾股定理作為相等關系先求得c的值，根據完全平方公式求得ab的值，從而可求得面積．

解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△BED，

∴BD=AC=1，DE=BC= ∠ABC=∠BED，∠BAC=∠EBD，

∴AB=BE=，

∵∠ABC+∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠EBD=90°，

∴∠ABE=90°，

∴AE=

（2）①當a=3，b=4，c=5時，勾股方程為為

②關于x的“勾股方程”必有實數根，

理由如下：根據題意，得：

∵

∴

即△≥0，

∴勾股方程必有實數根；

③當時，有

即

∵四邊形的周長是，

即

∴

∴c=3，

∴

∵

∴

∴=