Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于點(diǎn)E．

（1）求證：△ABD≌△EBD；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥DA，交BD于點(diǎn)F，連接AF．求證：四邊形AFED是菱形．

Answer 1

【答案】（1）△ABD≌△EBD；（2）四邊形AFED是菱形．

【解析】試題分析：（1）首先證明∠1=∠2．再由BA⊥AD，BE⊥CD可得∠BAD=∠BED=90°，然后再加上公共邊BD=BD可得△ABD≌△EBD；

（2）首先證明四邊形AFED是平行四邊形，再有AD=ED，可得四邊形AFED是菱形．

試題解析：證明：（1）如圖，

∵AD∥BC，

∴∠1=∠DBC．

∵BC=DC，

∴∠2=∠DBC．

∴∠1=∠2．

∵BA⊥AD，BE⊥CD

∴∠BAD=∠BED=90°，

在△ABD和△EBD中，

∴△ABD≌△EBD（AAS）；

（2）由（1）得，AD=ED，∠1=∠2．

∵EF∥DA，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴EF=ED．

∴EF=AD．

∴四邊形AFED是平行四邊形．

又∵AD=ED，

∴四邊形AFED是菱形．