Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是上半圓的弦，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線(xiàn)DE交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，且于D，與⊙O交于點(diǎn)F．

（1）判斷AC是否是∠DAE的平分線(xiàn)？并說(shuō)明理由；

（2）連接OF與AC交于點(diǎn)G，當(dāng)AG＝GC＝1時(shí)，求切線(xiàn)的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1) AC是∠DAE的平分線(xiàn),理由見(jiàn)解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）連接OC，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得OC⊥DE，又AD⊥DE，得出AD∥OC，根據(jù)圓的半徑相等得出∠1＝∠OCA，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠2＝∠OCA，等量代換即可得出結(jié)論；

（2）先證明△AOF是等邊三角形，進(jìn)而得出∠DAO＝60°，由（1）中結(jié)論可得∠1＝30°，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得∠E＝30°，所以∠1＝∠E，根據(jù)等角對(duì)等邊得出CE＝AC，即可得到答案．

試題解析：

解：（1）AC是∠DAE的平分線(xiàn).

證明：連接 ．

∵DE是⊙O的切線(xiàn)，∴OC⊥DE，.

∵AD⊥DE，∴∠ADC＝∠OCE＝,

∴AD∥OC，.

∴∠2＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠1＝∠ACO，

∴∠1＝∠2，∴AC是∠DAE的平分線(xiàn).

（2）∵＝1 ， ∴ ，即.

又∠1＝∠2， , ∴

又， ∴△是等邊三角形，

， ，.

又∠ADE＝，

∴ .

∴CE＝AC＝AG＋CG＝2．